1. Définition :

On appelle filtre RII, un filtre numérique défini par l'équation suivante :

On remarque que cette équation fait intervenir non seulement les échantillons retardés du signal d'entrée mais également les échantillons retardés du signal de sortie. On parle également de filtre récursif.

2. Conception d'un filtre RII :

Contrairement aux filtres RIF on ne part pas de la réponse impulsionnelle théorique d'un filtre analogique que l'on tronque mais directement de la fonction de transfert en s du filtre analogique. Cette fonction de transfert analogique n'étant pas tronquée, sa réponse impulsionnelle est entièrement conservée, c'est pourquoi on parle de filtre à réponse impulsionnelle infinie.

Il existe plusieurs méthodes pour passer de la fonction de transfert en s à la fonction de transfert en z, non ne décrirons cependant que la méthode de la transformation bilinéaire.

Dans ce cas, on a l'égalité suivante :

Cette méthode présente toutefois l'inconvénient que la pulsation dans le domaine échantillonné subit, de par le fait de cette transformation non linéaire, une distorsion et ne correspond plus tout à fait à la pulsation du domaine analogique. On a en effet :

2.1. Mode opératoire pour la conception d'un filtre numérique RII :

1. A partir du gabarit de filtrage, détermination d'une fonction d'approximation
2. Détermination de l'ordre du filtre
3. Utilisation d'un polynome normalisé à partir d'une table
4. Dénormalisation
5. Appliquer la transformation bilinéaire
6. Correction de la fréquence analogique
7. Déduire les équations de récurrence
8. Implantation sur calculateur

Soit à déterminer l'équation caractéristique discrète du filtre de Butterworth d'ordre 2, passe bas et de fc = 50Hz. La période d'échantillonnage Te est de 1ms. La table des polynomes de Butterworth donne :