L'aspect mathématique du filtrage adaptatif est basé sur les travaux du célèbre mathématicien Allemand du 19ème siècle GAUSS. Celui-ci a étudié la théorie de la minimisation des moindres carrés. Cette théorie est largement utilisée aujourd'hui dans tous les domaines de la science et de la technologie. Les DSP ont rendu possible l'utilisation de cette théorie en temps réel sur des signaux échantillonnés jusque environ 100kHz.

L'une des premières utilisations proposée en traitement adaptatif numérique du signal a été la publication de WIDROW et HOFF concernant des circuits de commutations adaptatifs en 1960. Ces travaux ont suscité beaucoup d'intérêt et on été complétés par d'autres publications dans les années 1970.

Le traitement adaptatif du signal a depuis trouvé de nombreuses applications. On peut les classer dans les catégories suivantes :

• détection de signaux (le signal x est-il présent ?),
• estimation de signaux (qu'est-ce que c'est ?),
• estimation d'un paramètre ou d'un état,
• compression de signaux,
• synthèse de signaux,
• etc.

Architecture d'un processeur de traitement adaptatif du signal :

La sortie y(k) du filtre adaptatif est égal au produit de convolution entre le signal d'entré x(k) et le vecteur w(k) représentant les coefficients du filtre adaptatif. Le vecteur w(k) est mis à jour selon une fonction basée sur le signal d'erreur e(k). A chaque instant k, un vecteur w(k + 1) est créé pour l'instant suivant. Cet algorithme adaptatif est implémenté dans le but de filtrer x(k) de façon à ce que y(k) soit le plus proche possible du signal désiré d(k), ceci en minimisant le carré du signal d'erreur e(k) = d(k) - y(k).

Le filtre adaptatif peut être de type RIF ou RII. Toutefois, la structure la plus utilisée est le RIF. L'algorithme utilisé peut être basé sur les moindres carrés (LMS) ou les moindres carrés récursifs (RLS). Chaque algorithme possède des caractéristiques particulières en terme d'erreur minimale atteignable, temps de convergence et stabilité.

En général, on distingue quatre types d'architectures de filtres adaptatifs :

Identification de système : si l'erreur obtenue est nulle alors les coefficients de la fonction de transfert du filtre adaptatif sont identiques à ceux de la fonction de transfert du système inconnu.

Identification de l'inverse d'un système : de la même manière que précédemment si l'erreur obtenue est nulle alors les coefficients de la fonction de transfert du filtre adaptatif sont identiques à ceux de l'inverse de la fonction de transfert du système inconnu. Le délai est nécessaire pour rendre le système causal.

Suppression de bruit : dans ce système on utilise un bruit n'(k) corrélé avec le bruit n(k) à éliminer. Dans ce cas, le filtre adapte ses coefficients pour que l'on obtiennne e(k) » s(k).

Filtre prédictif : dans ce cas si l'erreur tend vers 0 alors le filtre peut prévoir les échantillons futurs du signal s(k) qui sont basés sur les observations précédentes. Ceci peut fonctionner sur des signaux périodiques. L'une des applications est l'extraction de signaux noyés dans le bruit. On peut également utiliser ce système pour atténuer les variations d'un signal, mais c'est une application impossible à réaliser en temps réel.