Introduction :

En physique, il est d'usage d'utiliser un modèle mathématique pour décrire un phénomène physique. Dans ce contexte, on peut distinguer deux classes de modèles mathématiques : déterministe et aléatoire (ou stochastique).

Un modèle est dit déterministe, s'il n'existe aucune incertitude sur son comportement dépendant du temps quels que soient les instants du temps.

Cependant, dans beaucoup de situations pratiques, ce modèle n'est pas approprié parce que le phénomène physique en question comprend beaucoup trop d'inconnues. Malgré cela, il est possible d'utiliser un modèle mathématique décrit en termes de probabilités : on parle alors de la probabilité pour que la future valeur soit comprise entre telle et telle valeur. Dans un tel cas, le modèle est dit aléatoire ou stochastique.

Prenons l'exemple d'un système de radiocommunication. Pour un tel système, le signal reçu est constitué d'un signal informatif, d'un signal aléatoire d'interférence et de bruit lié au canal de transmission. Le signal informatif peut représenter un signal vocal, qui pratiquement est constitué de bursts d'énergie, espacés aléatoirement, et de durée variable. Le signal d'interférence peut représenter des perturbations provoquées par des ondes électromagnétiques provenant d'autres systèmes de communication. Quant au bruit, il est essentiellement lié au déplacement aléatoire des électrons dans les dispositifs électroniques, on parle dans ce cas de bruit thermique.

Il est donc évident qu'un signal de réception est aléatoire par nature. Bien qu'il ne soit pas possible de prédire ses valeurs futures, on peut le décrire en terme de paramètres statistiques tels que sa puissance moyenne ou sa densité spectrale de puissance, c'est ce que nous allons voir ci-après.

Définition d'un processus aléatoire :

A la lumière de l'introduction, il est clair que les signaux aléatoires possèdent deux propriétés. D'abord ce sont des fonctions du temps. Ensuite, il sont aléatoires dans le sens où avant de procéder à une expérience, il n'est pas possible de prévoir exactement les formes d'ondes qui seront observées dans le futur.

Pour décrire une expérience aléatoire, il est pratique de penser en terme d'épreuve dans un espace de probabilité. Plus précisément, à chaque épreuve de l'expérience, on associe un échantillon temporel. La totalité des échantillons temporels possibles de l'expérience constitue l'espace de probabilité. Cet espace d'évènements dépendant du temps est appelé processus aléatoire ou stochastique.

Stationnarité :

Beaucoup de processus aléatoires observés en pratique ont des propriétés statistiques qui ne dépendent pas du temps ou l'observation est faite. On dit que ce sont des processus stationnaires.

Plus précisément, on dit qu'un processus aléatoire est stationnaire au sens strict si la condition suivante est remplie :

Fx représente la fonction de répartition conjointe des n variables aléatoires qui constituent le processus. Ainsi :

En pratique, on se limite souvent aux statistiques d'ordre 1 et 2 :

Pour k = 1 on a :

,

Autrement dit, la fonction de répartition à l'ordre 1 d'un processus aléatoire stationnaire est indépendante du temps.

Pour k = 2 et t = -t₁, on a :

,

La fonction de répartition à l'ordre 2 d'un processus aléatoire stationnaire ne dépend que de la différence entre les temps d'observation et pas des temps auquels le processus est observé.

Moments statistiques :

On définit le moment statistique d'ordre 1 ou moyenne du processus X(t) par :

ou représente la densité de probabilité à l'ordre 1 du processus.

Si le processus est stationnaire, la moyenne est une constante indépendante du temps :

On définit l'autocorrélation d'un processus aléatoire par l'espérance du produit de deux variables aléatoires X(t₁) et X(t₂) :

Si le processus est stationnaire, on en déduit que la fonction d'autocorrélation ne dépend que de la différence temporelle t2 - t1 :

Pour simplifier la notation on écrit :

Propriétés de la fonction d'autocorrélation :

*

On obtient la valeur quadratique moyenne du processus (puissance totale).

*

*

Moments temporels :

On définit la moyenne temporelle d'un processus aléatoire par :

On définit la moyenne temporelle de l'autocorrélation d'un processus aléatoire par :

Dans le cas où t = 0, on obtient la puissance totale du signal :

Ergodicité :

On dit qu'un processus aléatoire est ergodique si l'on peut confondre ses moments statistiques avec ses moments temporels. Il est difficile de vérifier cette condition à l'ordre n, c'est pourquoi on se limite généralement aux moments d'ordre 1 et 2.

Densité spectrale de puissance :

On appelle densité spectrale de puissance d'un processus aléatoire la transformée de Fourier de sa fonction d'autocorrélation. Plus précisément, autocorrélation et densité spectrale de puissance forment une paire de transformées de Fourier :

Ces relations sont connues sous le nom de relations d'Einstein-Wiener-Khintchine.

On considère le signal aléatoire X(t) = Acos(2pft + Q) ou Q est une variable aléatoire de densité de probabilité uniformément répartie sur [-p, p].

• Montrer que ce processus est stationnaire à l'ordre 2.
• Montrer qu'il est à moyenne et à autocorrélation ergodique.
• Quelle est sa puissance totale ?
• Calculer sa densité spectrale de puissance.

Filtrage des signaux aléatoires :

Soit h(t) la réponse impulsionnelle d'un filtre linéaire et stationnaire d'entrée x(t) et de sortie y(t). On démontre les propriétés suivantes dans le cas ou le signal x(t) est considéré comme stationnaire :

Notion de bruit blanc :

On appelle bruit blanc un signal aléatoire dont la densité spectrale de puissance est une constante :

Sa fonction d'autocorrélation est donc égale à :

On considère généralement que le bruit blanc est stationnaire, ergodique et à moyenne nulle. Précisons que ce signal aléatoire n'a pas de réalité physique puisqu'il est de puissance infinie. Il constitue toutefois un objet mathématique très utile pour l'étude de systèmes aléatoires.

Rapport signal sur bruit :

On mesure la nuisance du bruit qui affecte le canal en évaluant le rapport signal sur bruit. Considérons le signal Y(t) = X(t) + n(t). Si l'on suppose que le bruit n(t) est de valeur moyenne nulle et non corrélé avec le signal utile X(t), on peut écrire :

E[Y²(t)] = E[X²(t)] +E[n²(t)]

E[X²(t)] représente la puissance totale du signal utile et E[n²(t)] la puissance du bruit. On définit alors le rapport signal sur bruit de la manière suivante :

Calculer le rapport signal sur bruit à la sortie d'un filtre RC passe-bas du 1er ordre. Le signal d'entrée est x(t) = Acos(2pfct).